porisme

(po-ri-sm') s. m.

Terme par lequel les mathématiciens des temps modernes désignent certaines propositions qui étaient en usage dans la géométrie des Grecs. Un porisme est une question dont la solution consiste à tirer une vérité géométrique de conditions assignées par l'énoncé. Par exemple, la tangente à un cercle fait, sur les tangentes aux extrémités d'un diamètre, des segments qui ont entre eux une certaine relation : trouver cette relation. La solution de ce porisme consiste à faire voir que le produit des deux segments est constant, c'est-à-dire toujours le même, quelle que soit la position de la première tangente relativement aux deux autres. Quel est, dans un plan, le lieu géométrique des points dont les distances à deux points donnés sont entre elles comme les longueurs de deux droites données ? Ici on répond en faisant voir que ce lieu est une circonférence de cercle. Le porisme et le théorème ont cela de commun que l'un et l'autre ont pour objet une vérité géométrique. Ils diffèrent en ce que dans le porisme il faut tirer cette vérité des conditions de l'énoncé, la découvrir ; tandis que dans le théorème elle est exprimée immédiatement par l'énonce et il n'y a plus qu'à la démontrer. Le porisme appartient par la forme de son énoncé au genre des problèmes ; mais, par son objet, qui est une vérité géométrique, il se distingue du problème des Grecs, lequel consiste essentiellement dans quelque construction à effectuer, comme partager un angle donné en deux parties égales, circonscrire un cercle à un triangle, etc.

   Les Porismes d'Euclide, ouvrage que ce géomètre avait écrit, et qui était célèbre dans l'antiquité. Il n'est pas arrivé jus qu'à nous ; mais Pappus en a laissé une description, de laquelle on a tire la définition du terme porisme et les autres indications données ci-dessus, à l'exception des exemples. Ces porismes se rapportaient à des lieux géométriques. Il était résulté de là que des mathématiciens peu instruits, qui ne connaissaient les porismes que par cet ouvrage et très superficiellement, avaient fini par considérer cette circonstance comme inhérente à la nature du porisme, et disaient, en appelant de ce nom la vérité géométrique qu'il s'agissait de trouver : le porisme est ce qu'il faut ajouter à l'hypothèse pour que celle-ci devienne un énoncé de théorème local. Notre premier exemple, se rapportant à un lieu, le cercle, doit satisfaire à cette définition. Il donne en effet ce théorème local : la tangente à un cercle fait, sur les tangentes aux extrémités d'un diamètre, des segments dont le produit est constant. Ces porismes d'Euclide étaient au nombre de cent soixante et onze. Ils formaient trois livres. Pappus nous a conservé, dans vingt-neuf énoncés, l'expression des relations qui étaient l'objet de ces cent soixante et onze propositions, et qui souvent se trouvaient être les mêmes dans des hypothèses très différentes. On pouvait donc distinguer dans ces propositions vingt-neuf espèces. Mais Pappus en fait des genres, parce que l'on peut trouver, pour chacun des vingt-neuf énoncés, un nombre illimité de circonstances donnant lieu à la relation qu'il exprime (BRETON DE CHAMPS).

ÉTYMOLOGIE

   Dans la géométrie des Grecs, le grec désigne non-seulement le porisme, mais aussi le corollaire ; ces deux acceptions sont mentionnées par Proclus dans son commentaire sur le premier livre des éléments d'Euclide. Or le corollaire est une vérité qui ressort sans qu'on l'ait préalablement énoncée, soit de la démonstration de quelque proposition, soit de la résolution de quelque problème. D'où il parait que le terme grec était la désignation commune des vérités qui n'étaient pas énoncées à priori, et dont les unes, les corollaires, s'offrent sans qu'on les ait cherchées, tandis que les autres, les porismes, sont au contraire l'objet d'une recherche expresse. On s'était trompé au sujet des vingt-neuf énoncés de Pappus. On avait regardé comme évident qu'ils ne pouvaient être autre chose que vingt-neuf des cent soixante et onze propositions d'Euclide. D'ailleurs on manquait d'exemples propres à faire comprendre les définitions. Cette question des porismes, dans de telles conditions, était une énigme impénétrable. Devenue fameuse dans la première moitié du XVIIe siècle, elle a continué d'exercer la sagacité des géomètres. M. Breton de Champs a enfin reconnu et signalé l'erreur, ce qui l'a conduit à résoudre toute la question.